生成矩阵转换为典型矩阵的例子

对于一个(n,k)线性分组码，如果其生成矩阵G具有G=[Ik P]的形式，其中Ik是k阶单位矩阵，P是一个k(n-k)的矩阵，则称G为典型生成矩阵（或系统生成矩阵）。由任意一个生成矩阵G'，总可以通过矩阵的初等行变换及列交换，得到一个与之等价的典型生成矩阵G。

任何一个秩为k的生成矩阵G，总可以经过一系列的初等行变换和列交换，变换成如下形式：G = [Ik | P]，其中Ik是一个k×k的单位矩阵，P是一个k×(n-k)的矩阵。我们称这种形式的生成矩阵为系统（典型）生成矩阵，由它所生成的线性分组码称为系统（典型）码。

具体变换方法是：首先在G中找到k个线性无关的列，然后通过列交换把它们移到矩阵的前k列，再通过初等行变换把这k列组成的矩阵变为单位矩阵Ik。注意，对生成矩阵的列进行交换，相当于对码字中的码元位置进行交换，因此在编码时要交换回来。

例：已知一个(7,3)线性分组码的生成矩阵G'如下，求其典型生成矩阵G。G'=[1011100; 0110110; 1101010]

首先利用初等行变换将G'的前3列组成的矩阵化为单位矩阵。第一步，(3)行+(1)行，即r3+r1，得到G1=[1011100; 0110110; 0110110]

第二步，(3)行+(2)行，即r3+r2，得到G2=[1011100; 0110110; 0000000]。此时矩阵的秩为2，k=2，与题设k=3不符，说明原生成矩阵G'的行向量线性相关，(3)行是多余的，应舍去。

设C是一个(n,k)线性码，其生成矩阵为G。为了得到该码的一个系统形式，我们需要对G进行高斯-若尔当消元。其目标是将G变换为一个等价的生成矩阵G_sys，形如G_sys = [I_k | P]，其中I_k是k阶单位阵，P是k x (n-k)的矩阵。这一过程不改变G的行空间，因此G与G_sys生成的是同一个码。

我们来看一个具体的变换过程。设一个(6,3)码的生成矩阵为G=[110100; 011010; 101001]。目标是将其化为[I3 P]的形式。r1与r3行互换，得到[101001; 011010; 110100]。接着，r3=r3+r1，得到[101001; 011010; 011101]。

继续上一步，r3=r3+r2，得到[101001; 011010; 000111]。此时左边的3x3子矩阵[101; 011; 000]还不是单位阵。这说明我们最初选择的列可能无法直接形成单位阵，需要进行列交换。将第3列与第4列交换，矩阵变为[100011; 010110; 001110]。现在前三列是单位阵了，变换完成。但必须记住编码后的码字也要做相应的列交换。

以(7,4)汉明码为例，其非系统形式的生成矩阵可能为G。为了方便编码，通常将其转换为系统形式。例如，给定一个生成矩阵，我们通过行变换可以得到 G_sys = [P | I_4] 的形式。注意，单位阵不一定总在左边，也可以通过列交换调整到右边，这对应于信息位在码字中的不同位置。